Understanding Maximum Likelihood Estimation MLE

MLE: Given a set of random samples; and a model with unknown parameters,  find the most likely parameters that can fit the data best.

离散分布，离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为，抛出一个反面的概率记为（因此，这裡的即相当于上边的）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为, , .这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：

我们可以看到当时，似然函数取得最大值。这就是的最大似然估计。

离散分布，连续参数空间

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个， 都有一个抛出正面概率为的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：

其中. 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对取微分，并使其为零。

在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为, ，以及.使可能性最大的解显然是（因为和这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为.

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

对于任何成功次数为，试验总数为的伯努利试验。

连续分布，连续参数空间

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

现在有个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

或：

,

这个分布有两个参数：.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有.

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凸函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

这个方程的解是.这的确是这个函数的最大值，因为它是里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对求导，并使其为零。

这个方程的解是.

因此，其关于的最大似然估计为：

.

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